2. 考研
  3. 设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C 其中 证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．

设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C 其中 证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．

admin2018-09-25  19
问题 设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=－2B，CAT=2C
其中

证明：对任何3维向量ξ，A100ξ与ξ必线性相关．
选项
答案因Aβi=－2βi(i=1，2)，故A100βi=(－2)100βi=2100βi(i=1，2)．因Aα1=2α1，故A10α1=2100α1． 对任意的3维向量ξ，因β1，β2，α1线性无关，ξ可由β1，β2，α1线性表示，且表示法唯一． 设ξ=μ1β1+μ2β2+μ3α1，则 A100ξ=A100(μ1β1+μ2β2+μ3α1)=μ1A100β1+μ2A100β2+μ3A100α1 =μ12100β1+μ22100β2+μ32100α1=2100(μ1β1+μ2β2+μ3α1)=2100ξ． 得证A100ξ和ξ成比例，A100ξ和ξ线性相关．
解析
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考研数学一

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