2. 考研
  3. 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ) 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=；

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ) 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=；

admin2020-12-10  55
问题 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；
(Ⅱ)  自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=；
(Ⅲ)  极限，则f(x0)=M．
选项
答案(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理，[*]a∈(0，1)，f’(a)=0．由f"(x)＜0(x∈(0，1))→f’(x)在(0，1)[*] [*] → f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a)， f(x)＞f(1)=0(a≤x＜1) → f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0． 要证[]在(0，1)存在零点．对n=1，2，3，…引入辅助函数 [*] →Fn(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，要证F’(x)=f’(x)—[*]零点，只须在[0，1]中找两点，Fn(x)的函数值相等，Fn(0)=f(0)=0，再找Fn(x)在(0，1)的一个零点。 [*]
解析
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考研数学二

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