二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

admin2018-06-27 31

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX在正交变换X=QY下化为10y₁²-4y₂²-4y₃²，Q的第1列为

(1)求A．
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

选项

答案标准二次型10y₁²-4y₂²-4y₃²的矩阵为 [*] 则Q^-1AQ=Q^TAQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，-4，-4． (1)Q的第1列α₁=[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η₁=(1，2，3)^T也是属于10的特征向量．于是A的属于-4的特征向量和(1，2，3)^T正交，因此就是方程 x₁+2x₂+3x₃=0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η₂=(2，-1，0)^T，η₃=[*] 建立矩阵方程A(η₁，η₂，η₃)=(10η₁，-4η₂，-4η₃)，用初等变换法解得 [*] (2)将η₂，η₃单位化得α₂=[*](2，-1，0)^T，α₃=[*](3，6，-5)^T．则正交矩阵Q=(α₁，α₂，α₃)满足要求．

解析

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考研数学二

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二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

考研数学二

已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设A3×3=[α1,α2,α3]，方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1，2，一3]T+[2，一1，1]T，其中k是任意常数．证明：方程组(α1,α2)x=β有唯一解，并求该解；

设u=f(xy)满足求u=f(xy)，其中F(t)=1当t≠0时有二阶连续导数．

设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．(1)求曲线y＝f(x)的方程；(2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．

(2007年试题，24)设三阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，又α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A2一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)

设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于()．

设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．

已知f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2．试确定参数c及二次型对应矩阵的特征值，并问f(x1，x2，x3)=1表示何种曲面．

在半径为a的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，其体积最大?

Whatisdocumentarycollection?

真理和谬误在一定条件下可以相互转化，这是()

1923年2月，中国共产党领导发动的工人运动是()

最易并发桡神经损伤的骨折是

(2017年)下列各项关于风险管理解决方案的表述，错误的是（）。

下列各类在用车船中,可以享受车船使用税减免税优惠政策的有()。(2000年)

“劳心者治人，劳力者治于人”的中国传统儒家思想把()相隔离。

(2019年山东)关于中华人民共和国国歌，下列说法错误的是()。

做半径为R的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h＝_何值，其体积最小，最小值是_．

Thereisnodoubtthatdoingsomephysicalexerciseinfreshairwilldosomegoodtoone’shealth．

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