设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为y12一y22一y32，则( )．

admin2020-10-21 34

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=a(x₁²+x₂²+x₃²)+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的规范形为y₁²一y₂²一y₃²，则( )．

选项 A、a=1，一2．
B、a＜一2．
C、a＞1
D、 2＜a＜1．

答案D

解析 f=x^TAx，其中A=

A的特征多项式
｜λE—A｜=

=(λ一a一2)(λ—a+1)²，
由｜λE一A｜=0，得A的特征值为λ₁=λ₂=a—1，λ₃=a+2．
由于二次型f的规范形为y₁²一y₂²一y₃²，所以f的正惯性指数为1，负惯性指数为2，从而二
次型f的矩阵A的特征值中有1个正的、2个负的，故a+2＞0，a一1＜0，即一2＜a＜1．
应选D．

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