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  3. 设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an)的极限存在．

设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an)的极限存在．

admin2019-06-09  44
问题 设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数，

证明数列{an)的极限存在．
选项
答案由题设可得f(k＋1)≤∫kk＋1f(x)dx≤f(k)(k＝1，2，…)，因此有an＋1－an＝f(n＋1)－∫nn＋1f(x)dx≤0，即数列{an}单调下降． 又[*] 即数列{an)有下界． 故由单调有界数列必有极限的准则知，数列{an}的极限存在．
解析 [分析]  证明抽象数列{an}的极限存在，一般用单调有界数列必有极限定理来判断．因此只需证明{an)足单调(增加或减少)且有界(上界或下界)即可．
[评注]  本题的证明过程中，用到了，这种处理技巧值得注意．
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考研数学二

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