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设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,R(A)=r,则A的全部特征值为_______,行列式|2E—3A|=_______。
设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,R(A)=r,则A的全部特征值为_______,行列式|2E—3A|=_______。
admin
2019-03-23
26
问题
设A为n阶实对称矩阵,且A
2
=A,R(A)=r,则A的全部特征值为_______,行列式|2E—3A|=_______。
选项
答案
λ
1
=λ
2
= … =λ
r
=1,λ
r+1
=λ
r+2
= … =λ
n
=0;(—1)
r
2
n—r
解析
设λ是矩阵A的任意一个特征值,α是属于λ的特征向量,即Aα=λα。
在等式A
2
=A两边右乘α,得A
2
α=Aα,也就是λ
2
α=λα,即(λ
2
—λ)α=0。因α≠0,故有λ
2
—λ=0,可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵,则必可相似对角化,而A的秩R(A)=r,因此A的特征值为
λ
1
=λ
2
= … =λ
r
=1,λ
r+1
=λ
r+2
= … =λ
n
=0,
进而可知矩阵2E—3A的特征值为
μ
1
= … =μ
r
=2—3×1= —1,μ
r+1
= … =μ
n
=2—3×0=2,
故 |2E—3A|=(—1)
r
2
n—r
。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/RSLRFFFM
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考研数学二
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