设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．

admin2019-04-09 47

问题设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．

选项 A、∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt
B、∫₀^xt[f(t)＋f(－t)]dt
C、∫_o^xf(t²)dt
D、∫₀^xf²(t)dt

答案B

解析因为t[f(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，(A)不对；因
为f(t²)为偶函数，所以∫₀^xf(t²)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f²(t)的奇偶性，所以
(D)不对；令F(x)＝∫₀^xt[f(t)＋f(－t)]dt，
F(－x)＝∫₀^－xt[f(t)＋f(－t)]dt＝∫₀^x(－u)[f(u)＋f(－u)](－du)＝F(x)，选(B)．

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