设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2χ2f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.

admin2019-06-28  65

问题 设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2χ2f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.

选项

答案令φ(χ)=χ2f(χ),由积分中值定理得f(1)=2[*]χ2f(χ)dχ=c2f(c),其中c∈[0,[*]],即φ(c)=φ(1),显然φ(χ)在区间[0,1]上可导,由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0.而φ′(χ)=2χf(χ)+χ22f′(χ),所以2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.

解析
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