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  3. [2002年] 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

[2002年] 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

admin2021-01-19  26
问题 [2002年]  设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则(    )．
选项 A、当f(x)=0时，必有f′(x)=0
B、当f′(x)存在时，必有f′(x)=0
C、当f(x)=0时，必有f′(x)=0
D、当f′(x)存在时，必有f′(x)=0
答案B
解析  用拉格朗日中值定理证明(B)正确，也可用排错法得到正确选项．
解一  利用命题1．2．4．1和反证法证明仅(B)入选．事实上，如f′(x)=a≠0，当A＞0时，由命题1．2．4．1(1)知，f(x)=+∞与f(x)有界矛盾．当a＜0时，由命题1．2．4．1(1)知，f(x)=一∞与f(x)有界矛盾．综上所述，f′(x)=a=0．
解二  仅(B)入选．用反证法证之．假设f′(x)=a≠0，不妨设a＞0，则必存在x0＞0，
使当x＞x0时，有f′(x)＞a／2．在[x0，x]上使用拉格朗日中值定理，则存在ξ∈(x0，x)，使得
f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x—x0)＞f(x0)+a(x一x0)／2．
当x→+∞时，有f(x)=+∞，这与f(x)有界矛盾．
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考研数学二

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