若函数f(x)在(一∞,+∞)内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=ex.

admin2020-03-16  27

问题 若函数f(x)在(一∞,+∞)内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=ex

选项

答案[*]

解析 欲证f(x)=ex,一种思路是移项作辅助函数ψ(x)=f(x)一ex,如能证明ψ’(x)≡0,从而ψ(x)≡C.由条件ψ(0)=f(0)一1=0,得C=0,即f(x)一ex≡0,于是f(x)=ex.但ψ’(x)=f’(x)一ex,利用已知条件f’(x)=f(x)得ψ’(x)=f(x)一ex,要证ψ’(x)≡0,即要证f(x)=ex,而这就是我们要证明的结论,故这种思路行不通.另一种思路是由f(x)=ex两边同除以ex得辅助函数ψ(x)=.若能证明ψ’(x)=0,从而ψ(x)=C,由条件ψ(0)==0,因此本题利用第二种思路.
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