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已知矩阵A与B相似,其中A=.求a,b的值及矩阵P,使P-1AP=B.
已知矩阵A与B相似,其中A=.求a,b的值及矩阵P,使P-1AP=B.
admin
2018-04-15
27
问题
已知矩阵A与B相似,其中A=
.求a,b的值及矩阵P,使P
-1
AP=B.
选项
答案
由A~B,知[*]a=7,b=-2. 从矩阵A的特征多项式|λE—A|=[*]=λ
2
一4λ一5,得到A的特征值是λ
1
=5,λ
2
=-1.它亦是B的特征值. 解齐次线性方程组(5E一A)x=0,(一E一A)x=0可得到矩阵A的属于λ
1
=5,λ
2
=-1的特征向量α
1
=(1,1)
T
与α
2
=(一2,1)
T
. 解齐次线性方程组(5E—B)x=0,(一E—B)x=0得到曰的特征向量分别是β
1
=(一7,1)
T
,β
2
=(一1,1)
T
. 那么,令P
1
=[*]BP
2
, 即P
2
[*]=B.可见,取P=P
1
[*]就有P
-1
AP=B.
解析
由|A|=λ
1
λ
2
=-5<0,知A~A,因而可求可逆矩阵P
1
和P
2
,使
BP
2
=A,那么P=P
1
.
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考研数学一
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