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设f(x)在[a,+∞)上二阶可导,f(a)>0,fˊ(a)<0,f"(x)<0,证明:方程f(x)=0在[a,+∞)上有且仅有一个实根.
设f(x)在[a,+∞)上二阶可导,f(a)>0,fˊ(a)<0,f"(x)<0,证明:方程f(x)=0在[a,+∞)上有且仅有一个实根.
admin
2020-12-10
36
问题
设f(x)在[a,+∞)上二阶可导,f(a)>0,fˊ(a)<0,f"(x)<0,证明:方程f(x)=0在[a,+∞)上有且仅有一个实根.
选项
答案
先证存在性. f(x)在点x
0
=a的一阶泰勒公式为 [*] 注意到fˊ(a)<0.f"(x)<0,所以fˊ(x)在[a,+∞)上单调递减,故fˊ(x)<fˊ(a)<0,因此f(x)在(a,+∞)上是单调递减的,因此[*]. 故存在x
1
>a,使f(x
1
)<0,又知f(a)>0,且函数f(x)在[a,x
1
]连续,由零点定理知,存在ξ∈(a,x
1
)c[a,+∞),使得f(ξ)=0. 再证唯一性. 由f"(x)<0可知,fˊ(x)在[a,+∞)上单调递减,于是fˊ(x)≤fˊ(a)<0,即f(x)单调递减, 故方程f(x)=0最多有一个实根. 综上所述,方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
解析
【思路探索】由题设知f(a)>0,那么.利用零点定理证明方程根的存在性的关键就是要寻找一个点x
0
(x
0
>a).使f(x
0
)<0.
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0
考研数学二
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