2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＞0，fˊ(a)＜0，f"(x)＜0，证明：方程f(x)=0在[a，+∞)上有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＞0，fˊ(a)＜0，f"(x)＜0，证明：方程f(x)=0在[a，+∞)上有且仅有一个实根．

admin2020-12-10  36
问题 设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＞0，fˊ(a)＜0，f"(x)＜0，证明：方程f(x)=0在[a，+∞)上有且仅有一个实根．
选项
答案先证存在性． f(x)在点x0=a的一阶泰勒公式为 [*] 注意到fˊ(a)＜0．f"(x)＜0，所以fˊ(x)在[a，+∞)上单调递减，故fˊ(x)＜fˊ(a)＜0，因此f(x)在(a，+∞)上是单调递减的，因此[*]． 故存在x1＞a，使f(x1)＜0，又知f(a)＞0，且函数f(x)在[a，x1]连续，由零点定理知，存在ξ∈(a，x1)c[a，+∞)，使得f(ξ)=0． 再证唯一性． 由f"(x)＜0可知，fˊ(x)在[a，+∞)上单调递减，于是fˊ(x)≤fˊ(a)＜0，即f(x)单调递减， 故方程f(x)=0最多有一个实根． 综上所述，方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根．
解析 【思路探索】由题设知f(a)＞0，那么．利用零点定理证明方程根的存在性的关键就是要寻找一个点x0(x0＞a)．使f(x0)＜0．
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考研数学二

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