2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0，∫01exf(x)dx＝0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．

设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0，∫01exf(x)dx＝0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．

admin2018-12-21  28
问题 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0，∫01exf(x)dx＝0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0．
选项
答案令F(x)＝∫0xf(t)dt，有F’(x)＝f(x)，F(0)＝0，F(1)＝0，则0＝∫01exf(x)dx＝∫01exd[F(x)]＝exF(x)｜01－∫01F(x)exdx＝－∫01>F(x)exdx， 所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)eξ＝0．但eξ≠0，所以F(ξ)＝0．由于已有F(0)＝0，F(1)＝0， 所以根据罗尔定理知，存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2(ξ，1)，使F’(ξ1)＝0，F’(ξ2)＝0，即f(ξ1)＝0，f(ξ2)＝0，其中ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，证毕．
解析
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考研数学二

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