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  3. 已知函数f(x)在区间(1－δ，1＋δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)＝f’(1)＝1，则

已知函数f(x)在区间(1－δ，1＋δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)＝f’(1)＝1，则

admin2014-01-26  39
问题 已知函数f(x)在区间(1－δ，1＋δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)＝f’(1)＝1，则
选项 A、在(1－δ，1)和(1，1＋δ)内均有f(x)＜x．
B、在(1－δ，1)和(1，1＋δ)内均有f(x)＞x．
C、在(1－δ，1)内，(x)＜x．在(1，1＋δ)内，f(x)＞x．
D、在(1－δ，1)内f(x)＞x，在(1，1＋δ)内，．f(x)＜x。   
答案A
解析 [分析]  本题相当于证明不等式f(x)＜x(或f(x)＞x)，可考虑采用辅助函数F(x)＝f(x)－x，再根据其导数的性质进行判断即可．
    [详解]  令F(x)＝f(x)－x，则有F’(x)＝f’(x)－1＝f’(x)－f’(1)，由于f’(x)严格单调减少，因此当x∈(1－δ，1)时，F’(x)＞0；当x∈(1，1＋δ)时，F’(x)＜0；且在x＝1处F’(1)＝0．可见F(x)在x＝1处取极大值，即在(1－δ，1)和(1，1＋δ)内均有F(x)＜F(1)＝0，也即f(x)＜x．故应选(A)．
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考研数学二

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