已知矩阵的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

admin2019-05-14 19

问题已知矩阵

的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

选项

答案由A的特征多项式 [*] =(λ－2)(λ²－8λ+10+a) 若λ=2是重根，则λ²－8λ+10+a中含有λ－2的因式，于是2²－16+10+a=0，得a=2．此时λ²－8λ+12=(λ－2)(λ－6)．矩阵A的3个特征值是2(二重根)，6．对于λ=2，由 [*] 知A可以相似对角化．若λ=2不是重根，则λ²－8λ+10+a是完全平方，于是 8²=4(10+a)，得a=6， λ=4(二重根)，对于λ=4，由于 [*] 故a=6时，A不能相似对角化．

解析

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考研数学一

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