已知矩阵 的特征值有重根,判断A能否相似对角化,并说明理由.

admin2019-05-14  19

问题 已知矩阵

的特征值有重根,判断A能否相似对角化,并说明理由.

选项

答案由A的特征多项式 [*] =(λ-2)(λ2-8λ+10+a) 若λ=2是重根,则λ2-8λ+10+a中含有λ-2的因式,于是22-16+10+a=0,得a=2. 此时λ2-8λ+12=(λ-2)(λ-6).矩阵A的3个特征值是2(二重根),6. 对于λ=2,由 [*] 知A可以相似对角化. 若λ=2不是重根,则λ2-8λ+10+a是完全平方,于是 82=4(10+a), 得a=6, λ=4(二重根), 对于λ=4,由于 [*] 故a=6时,A不能相似对角化.

解析
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