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下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续. ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界. ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数
下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续. ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界. ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数
admin
2019-07-10
43
问题
下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续.
②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界.
③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数.
④设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的有界函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的有界函数.
其中正确的个数为( )
选项
A、1.
B、2
C、3
D、4
答案
B
解析
①与③是正确的,②与①足小正确的,正确的个数为2.①是正确的,理由如下:设x
0
∈(-∞,+∞),则它必含某区间[a,b]中,由于题设f(x)任意区间间[a,b]上连续。故在x
0
处连续,所以(一∞.+∞)上连续,论证的关键之处是:函数f(x)的连续性是按点来讨沦的,在区间上每一点连续,就说它在该区间连续。②函数f(x)[a,b]上有界性的“界”是与区间有关的,例如f(x)=x在区间[a,b]上,|f(x)|≤max{|a|,
这个“界”与区间[a,b]有关,容易看出,在区间(一∞,+∞)上,此f(x).就无界了.②不正确.⑧是正确的.其理由是:设x
0
∈(一∞,+∞).所以,f(x
0
)>0且f(x)x
0
处连续,由连续函数的四则运算知,
在x
0
处也连续。所以
连续.④是不正确的,例如函数f(x)=e
-x
2
,在区间(一∞,一∞)上,0<f(x)≤1,所有f(x)在(一∞,+∞)上有界,而
在(-∞,+∞)上无界.这是因为当x→±∞时,
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考研数学二
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