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已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
admin
2017-07-26
26
问题
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα一2A
2
α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
选项
答案
由于A
3
α+2A
2
α一3Aα=0,有 A(A
2
α+2α一3α)=0=0(A
2
α+2α一3α). 因为α,Aα,A
2
α线性无关,故必有A
2
α+2Aα一3α≠0,所以λ=0是A的特征值, A
2
α+2Aα一3α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量. 类似地,由A
3
α+2A
2
α一3Aα=0,有 (A—E)(A
2
α+3Aα)=0=0(A
2
α+3Aα), (A+3E)(A
2
α一Aα)=0=0(A
2
α一Aα). 所以,λ=1是A的特征值,A
2
α+3Aα是属于λ=1的特征向量;λ=一3是A的特征值,A
2
α—Aα是属于λ=一3的特征向量.
解析
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考研数学三
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