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已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
admin
2020-03-01
21
问题
已知
α
1
是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α
2
与α
3
是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
选项
A、(α
1
,一α
2
,α
3
).
B、(α
1
,α
2
+α
3
,α
2
一2α
3
).
C、(α
1
,α
3
,α
2
).
D、(α
1
+α
2
,α
1
—α
2
,α
3
).
答案
D
解析
若
P=(α
1
,α
2
,α
3
),则有AP=PA.即(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
α
1
,α
2
α
2
,α
3
α
3
).可见α
i
是矩阵A属于特征值α
i
(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关.若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确.若α,β是属于特征值λ的特征向量,则2α+3β,…仍是属于特征值A的特征向量.本题中,α
2
,吧是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α
2
+α
3
,α
2
一2α
3
仍是λ=5的特征向量,并且α
2
+α
3
,α
2
一2α
3
线性无关,故选项B正确.对于选项C,因为α
2
,α
3
均是λ=5的特征向量,所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确.故选项C正确.由于α
1
,α
2
是不同特征值的特征向量,因此α
1
+α
2
,α
1
一α
2
不再是矩阵A的特征向量,故选项D错误.所以应选D.
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考研数学二
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