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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=∫01f(x)dx 证明:方程f(x)=∫01f(x)dx在(0,1)内至少有一个实根;
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=∫01f(x)dx 证明:方程f(x)=∫01f(x)dx在(0,1)内至少有一个实根;
admin
2022-06-09
41
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=∫
0
1
f(x)dx
证明:方程f(x)=∫
0
1
f(x)dx在(0,1)内至少有一个实根;
选项
答案
证 令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则在[0,1]上对F(x)应用拉格朗日中值定理, 可知至少存在一点ζ
1
∈(0,1),使得 F’(ζ
1
)=F(1)-F(0)/1-0=F(1)=∫
0
1
f(x)dx, 即f(ξ
1
)=∫
0
1
f(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/DbhRFFFM
0
考研数学二
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