设u(x，y)具有二阶连续偏导数，证明无零值的函数u(x，y)可分离变量(即u(x，y)=f(x)·g(y))的充分必要条件是

admin2021-08-02 65

问题设u(x，y)具有二阶连续偏导数，证明无零值的函数u(x，y)可分离变量(即u(x，y)=f(x)·g(y))的充分必要条件是

选项

答案必要性.设u(x,y)=f(x)g(y)，则 [*] 因此 [*] 充分性.因为[*]，所以有 u(u’_x)’_y—(u’_x)(u’_y)=0，又u(x,y)无零值，故可得 [*] 两边关于y积分得 [*] 其中c₁(x)是x的任意可微函数，即有 (ln｜u｜)’_x=c₁(x), 再对x积分得 ln｜u｜=∫c₁(x)dx+c₂(y), 其中c₂(y)是y的任意可微函数.故 [*]

解析

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考研数学二

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