求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数。

admin2018-12-29  38

问题 求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数。

选项

答案令f(x)=karctanx—x,则f(0)=0,且 [*] 当k<1时,f′(x)<0,f(x)在(—∞,+∞)单调递减,故此时f(x)的图形与x轴只有一个交点,也即方程karctanx—x=0只有一个实根。 当k=1时,在(一∞,0)和(0,+∞)上都有f′(x)<0,所以f(x)在(一∞,0)和(0,+∞)上是严格单调递减的,又f(0)=0,故f(x)的图形在(一∞,0)和(0,+∞)上与x轴均无交点。 当k>1时,[*]时,f′(x)>0,f(x)在[*]上单调递增,由f(0)=0知,f(x)在[*]上只有一个实根;又f(x)在[*]上都有f′(x)<0,因此f(x)在[*]上都单调递减,且[*],所以f(x)在[*]上与x轴均只有一个交点。 综上所述,k≤1时,方程karctanx—x=0只有一个实根;k>1时,方程karctanx—x=0有三个实根。

解析
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