已知曲线积(A为常数),其中φ(y)具有连续的导数,且φ(1)=1.L是围绕原点O (0,0)的任意分段光滑简单正向闭曲线. 求函数φ(y)的表达式,及常数A的值.

admin2017-05-31  40

问题 已知曲线积(A为常数),其中φ(y)具有连续的导数,且φ(1)=1.L是围绕原点O (0,0)的任意分段光滑简单正向闭曲线.
求函数φ(y)的表达式,及常数A的值.

选项

答案设[*]且P、Q在单连通区域x>0内具有连续的偏导数,由上一题知,曲线积分[*]在该区域内与路径无关,故当x>0时,总有 [*] 于是,xφ(x)=2φ(x).这是可分离变量的微分方程.解微分方程,得φ(x)=cx2.由条件φ(1)=1,得c=1,从而φ(x)=x2. 由于曲线积分与路径无关,故可取闭曲线L:x2+y2=1.根据格林公式,得[*]

解析 证明第一题的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系,这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论;而第二题中求φ(y)的表达式,显然应用曲线积分与路径无关即可.
本题难度较大,关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
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