设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵). 求: (1)二次型XTAX的标准形; (2)|E+A+A2+…+An|的值.

admin2021-11-15  45

问题 设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵).
求:
(1)二次型XTAX的标准形;
(2)|E+A+A2+…+An|的值.

选项

答案(1)因为A2=A,所以|A||E-A|=0,即A的特征值为0或者1, 因为A为实对称矩阵,所以A可对角化,由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重),λ=0(n-r重),则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2. (2)令B=E+A+A2+…+An,则B的特征值为λ=n+1(r重),λ=1(n-r重),故|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r

解析
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