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设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt 证明F’(t)单调增加.
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt 证明F’(t)单调增加.
admin
2016-04-08
25
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt
证明F’(t)单调增加.
选项
答案
由已知F(x)=∫
-a
a
|x一t|f(t)dt =∫
-a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
-a
x
(t)dt一∫
-a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一x∫
x
a
f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt一∫
-a
x
tf(t)dt—∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt,F’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)-xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
-a
x
f(t)dt—∫
a
x
f(t)dt. =∫
-a
x
f(t)dt—∫
a
x
f(t)dt. 所以F’’(x)=2f(x)>0,因此F’(x)为单调增加的函数.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/7sDRFFFM
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考研数学二
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