设f(x)连续,且关于x=T对称,α<T<b,证明: ∫αbf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫α2T-bf(x)dx

admin2022-09-05  50

问题 设f(x)连续,且关于x=T对称,α<T<b,证明:
αbf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫α2T-bf(x)dx

选项

答案因为f(x)关于x=T对称,所以(x+T)=f(T-x)由定积分的性质 ∫αbf(x)dx=∫α2T-bf(x)dx+∫2T-bTf(x)dx+∫Tbf(x)dx 而∫2T-bTf(x)dx[*]∫bTf(2T-t)(-dt)=-∫bTf[T+(T-t)]dt[*]-∫bTf[T-(T-t)]dt=-∫bTf(t)dt=∫Tbf(x)dx 故∫abf(x)dx=2∫Tbf(x)dx+∫a2T-bf(x)dx

解析
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