设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1):0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’"(c)=0.

admin2019-02-20  36

问题 设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1):0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’"(c)=0.

选项

答案由于F(0)=F(1)=0,F(x)在[0,1]可导,故存在ξ1∈(0,1)使得F’(ξ1)=0.又 F’(x)=x2f’(x)+2xf(x), 于是由F’(0)=0,F’(ξ1)=0及F’(x)在[0,1]可导知,存在ξ2∈(0,ξ1)使得F"(ξ2)=0.又因 F"(x)=x2f"(x)+4xf’(x)+2f(x), 于是由F"(0)=F"(ξ2)=0及F"(x)在[0,1]可导知,存在c∈(0,ξ2)[*](0,1)使得F’"(c)=0.

解析
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