2. 考研
  3. 设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．

设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．

admin2017-07-26  40
问题 设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．
选项
答案令向量x0=tx1+x2，其中t为待定实数，选择t，使f(x0)=0，即 x0TAx0=(tx1+x2)TA(tx1+x2) =(tx1T+x2T)A(tx1+x2) =t2x1TAx1+2tx1TAx2+x2TAx2=0， 记实数a=x1TAx1，b=x1TAx2，c=x2TAx2，则由题设条件知a＞0，c＜0．于是上式可写为 at2+2bt+c=0． 由于关于t的这个二次方程有a＞0，判别式△=4b2一4ac＞0，故该方程必有实根t0≠0，于是有向量x0=tx1+x2≠0(否则t0x1+x2=0，则x2=一t0x1，于是f(x2)=x2TAx2=(一t0x1)TA(一t0x1)=t02x1TAx1＞0，它与已知的f(x2)＜0相矛盾)，使得 f(x0)=x0TAx0=at02+abt0+c=0．
解析
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考研数学三

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