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设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
admin
2022-04-05
11
问题
设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程
=0变换为y=y(x)满足的微分方程;
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=
的解。
选项
答案
(Ⅰ)由反函数求导法则, [*] 将以上两式代入所给微分方程得y"一y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果,则对应齐次方程的特征方程为λ
2
一1=0,特征根为λ
1,2
=±1。 由于i不是特征方程的根,故设非齐次待定特解为y
*
=Acosx+Bsinx,并将y
*
,(y
*
)’及(y
*
)" 代入y"一y=sinx,得A=0,B=一[*]。 则非齐次方程通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一[*]sinx。 又由y(0)=0,y’(0)=[*],可得C
1
=1,C
2
=一1。 则所求特解为y=e
x
一e
-x
一[*]sinx。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/6C3RFFFM
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考研数学一
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