2. 考研
  3. 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

admin2022-04-05  11
问题 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
    (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
    (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。
选项
答案(Ⅰ)由反函数求导法则， [*] 将以上两式代入所给微分方程得y"一y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2一1=0，特征根为λ1，2=±1。 由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)" 代入y"一y=sinx，得A=0，B=一[*]。 则非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x一[*]sinx。 又由y(0)=0，y’(0)=[*]，可得C1=1，C2=一1。 则所求特解为y=ex一e-x一[*]sinx。
解析
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考研数学一

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