由方程2y3－2y2+2xy+y－x2=0确定的函数y=y(x) ( )

admin2020-05-09 42

问题由方程2y³－2y²+2xy+y－x²=0确定的函数y=y(x) ( )

选项 A、没有驻点．
B、有驻点但不是极值点．
C、驻点为极小值点．
D、驻点为极大值点．

答案C

解析将所给方程两边对x求导数，y看成由此式确定的x的函数，有
6y²y′－4yy′+2y+2xy′+y′－2x=0，
(6y²－4y+2x+1)y′+2(y－x)=0．
先考虑驻点，令y′=0，得y=x，再与原方程联立：

得 2x³－2x²+2x²+x－x²=0，即x(2x²－x+1)=0．
由于2x²－x+1=0无实根，故得唯一实根x=0，相应地有y=0．在此点有y′=0．不选(A)．
再看此点是否为极值点，求二阶导数，由

以x=0，y=0，y′=0代入，得y″=2＞0，所以该驻点为极小值点，选(C)．

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