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  3. 设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在，并求xn.

设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在，并求xn.

admin2021-06-16  45
问题 设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在，并求xn.
选项
答案由于x1=[*]＜2,x2=[*]=2,设当k≥3,k∈N,有xk＜2，则xk+1=[*]=2,故知对于任意正整数n都有xn＜2,即数列{xn}为有界数列，又 xn－xn-1=[*]－xn-1=[*] 其分母大于0，其分子 2+xn-1－xn-12＞2+xn-1－2xn-1=2－xn-1＞0 故xn－xn-1＞0，即{xn}为单调增加且有上界的数列。 由单调有界准则可知数列{xn}存在极限。 设[*]xn=A,由于xn=[*],则有[*]xn=[*],A2－A－2=0,解得A=2或A=－1,由于xn＞0，因此A=[*]xn≥0,则A=－1应舍去，故[*]xn=2.
解析
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考研数学二

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