[2010年] 设,已知线性方程组AX=b存在两个不同的解.(I)求λ,a;(Ⅱ)求方程组AX=b的通解.

admin2019-08-01  89

问题 [2010年]  设,已知线性方程组AX=b存在两个不同的解.(I)求λ,a;(Ⅱ)求方程组AX=b的通解.

选项

答案先利用题设方程组有解且不唯一的性质得到秩([*])=秩(A)<3,求得λ,a. (Ⅰ)解一 因AX—b有两个不同的解,则AX=0有非零解,因而AX=b有无穷多组解,故秩([*])=秩(A)<3,于是∣A∣=0,由 ∣A∣=[*]=(λ一1)2(λ+1)=0, 解得λ=1或λ=一1.当λ=1时,秩(A)一1≠秩([*])=2,AX=b无解,故λ≠1,因而λ=一1. 因[*] 由秩(A)=秩([*])=2,得到a+2=0,即a=一2. 解二 由题设知,秩(A)=秩([A:b])<3,对增广矩阵进行初等行变换得到 [*] 当λ=1时,[A:b]一[*].此时秩(A)=2≠秩([A:b]), 方程组无解,故λ≠1. 当λ=一1时,[A:b]一[*].为使秩(A)=秩([A:b])=2<3,必有 a+2=0, 即 a=一2. (Ⅱ)因A→[*] 由基础解系的简便求法即得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1,0,1]T,AX=b的一个特解为β=[3/2,-1/2,0]T,因而AX=b的通解为 X=cα+β=c[1,0,1]T+[3/2,一1/2,0]T,其中c为任意常数.

解析
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