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  3. [2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．

[2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．

admin2019-04-05  25
问题 [2004年]  设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．
选项
答案 令f′(x)=0，得其驻点x1=π／4，x2=3π／4．易求得 f([*])=∫π/43π/4sindt=√2，f(0)=∫0π/2sindt=1，f(π)=∫π3π/2(－sint)dt=1. f([*])=∫3π/45π/4∣sin∣dt=∫π3π/4sindt一∫π5π/4sintdt=2一√2． 由命题1．2．5．6知，f(x)在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为 M=max{f(0)，f(π／4)，f(3π／4)，f(π)}=f(π／4)=√2， m=min{f(0)，f(π／4)，f(3π／4)，f(π)}=f(3π／4)=2一√2， 因而f(x)的值域为[2一√2，√2]．
解析
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考研数学二

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