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  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫baf(x)dx﹦[f(a)﹢f(b)]﹢∫baf”(x)(x－a)(x－b)dx。

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫baf(x)dx﹦[f(a)﹢f(b)]﹢∫baf”(x)(x－a)(x－b)dx。

admin2019-01-22  33
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明
∫baf(x)dx﹦[f(a)﹢f(b)]﹢∫baf”(x)(x－a)(x－b)dx。
选项
答案由分部积分法得 ∫abf(x)dx＝∫abf(x)d(x－b) ﹦f(a)(b－a)－∫abf’(x)(x－b)d(x－a) ﹦f(a)(b－a)﹢∫ab(x－a)d[f’(x)(x－b)] ﹦f(a)(b－a)﹢∫ab(x－a)df(x)﹢∫abf”(x)(x－a)(x－b)dx ﹦f(a)(b－a)﹢f(b)(b－a)－∫abf(x)d(x－a)﹢∫abf”(x)(x－a)(x－b)dx， 移项并整理得 ∫abf(x)dx﹦[*](b－a)[f(a)﹢f(b)]﹢[*]∫abf”(x)(x－a)(x－b)dx。 本题考查定积分的求解。观察题目要证明的等式，我们可以发现等式右端的被积函数中包含f”(x)的形式，因此我们可以考虑使用分部积分法进行求解。同时，由于等式左端的被积函数是f(x)，所以在求解过程中要多次使用分部积分法。
解析
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考研数学一

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