(01年)已知fn(χ)满足f′n(χ)=fn(χ)+χn-1eχ(n为正整数),且fn(1)=,求函数项级数fn(χ)之和.

admin2017-05-26  52

问题 (01年)已知fn(χ)满足f′n(χ)=fn(χ)+χn-1eχ(n为正整数),且fn(1)=,求函数项级数fn(χ)之和.

选项

答案由原题可知 f′n(χ)-fn(χ)=χn-1eχ 由一阶线性方程通解公式可知 [*] 由条件fn(1)=[*],得c=0,故fn(χ)=[*] 从而[*] 记S(χ)=[*],其收敛域为[-1,1),当χ∈(-1,1)时,有 [*] 故S(χ)=[*]=ln(1-χ) 当χ=-1时[*]fn(χ)=-e-1ln2 于是,当-1≤χ<1时,有 [*]fn(χ)=-eχln(1-χ)

解析
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