设y(x)是方程y(4)-yˊˊ=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

admin2019-05-08  47

问题 设y(x)是方程y(4)-yˊˊ=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

选项

答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+yˊ(0)x+[*]yˊˊ(0)x2+[*]yˊˊˊ(0)x3+o(x3) (x→0). 当x→0时,y(x)与x3同阶=>y(0)=0,yˊ(0)=0,yˊˊ(0)=0,yˊˊˊ(0)=C,其中C为非零常数.由这些初值条件,现将方程y(4)-yˊˊ=0两边积分得 ∫0xy(4)(t)dt-∫0xyˊˊ(t)dt=0, 即yˊˊˊ(x)-C-yˊ(x)=0,两边再积分得yˊˊ(x)-y(x)=Cx. 易知,它有特解y*=-Cx,因此它的通解是y=C1ex+C2e-x-Cx. 由初值y(0)=0,yˊ(0)=0得 C1+C2=0,C1-C2=C=>[*] 因此最后得y=[[*](ex-e-x)]C,其中C为任意非零常数.

解析
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