(1998年试题,九)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. 试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积;

admin2013-12-27  52

问题 (1998年试题,九)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积;

选项

答案(1)根据题意,假如存在满足条件的x0∈(0,1),即有[*]显然此式等价于要求函数[*]在(0,1)区间内有零点,循此思路,构造辅助函数[*]及F2(x)=F1(x)则可验证可取[*]又F2(0)=F2(1)=0,则由罗尔定理知,存在x0∈(0,1),使F2(x0)=F1(x0)=0,则结论(1)证毕.

解析
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