设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．

admin2018-07-26 43

问题设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A^*的秩为_______．

选项

答案0．

解析因为r(A_4×4)=2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A^*=O，从而有r(A^*)=0．
本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念．注意，对于n阶方阵A，A的每个元素的余子式就是A的一个n－1阶子式，因此，当r(A)＜n－1时，A的每个元素的余子式、从而代数余子式都为0，而A^*的元素是A的元素的代数余子式，故此时有A^*=O，从而有r(A^*)=0．一般地成立：若r(A_n×n)＜n－1，则r(A^*)=0．

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