设二次型f(x，y，z)=2x2+y2-4xy-4yz，用正交变换x=Qy将其化为标准形，并写出Q。

admin2021-04-02 15

问题设二次型f(x，y，z)=2x²+y²-4xy-4yz，用正交变换x=Qy将其化为标准形，并写出Q。

选项

答案[*]，其二次型矩阵[*]，x=(x，y，z)^T，令 [*] 得A得特征值为λ₁=-2，λ₂=1，λ₃=4 当λ₁=-2时， [*] 得特征向量ξ₁=(1，2，2)^T 当λ₂=1时， [*] 得特征向量ξ₂=(2，1，-2)^T 当λ₃=4时， [*] 得特征向量ξ₃=(2，-2，1)^T ξ₁，ξ₂，ξ₃已相互正交，只需单位化： [*] 即为所求正交矩阵。记y=(u，v，w)^T，则经x=Qy，有 f(x，y，z)=x^TAx=y^TQ^TAQy=y^TAy=-2u²+v²+4w²。

解析

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考研数学一

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