设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且2f(0)=f(1)+f(2),证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)=0.

admin2022-10-12  27

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且2f(0)=f(1)+f(2),证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)=0.

选项

答案因为f(x)∈C[1,2],所以f(x)在[1,2]上取到最小值m和最大值M,又因为m≤[f(1)+f(2)]/2≤M,所以由介值定理,存在c∈[1,2],使得f(c)=[f(1)+f(2)]/2,即2f(c)=f(1)+f(2),故f(0)=f(c),由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)∈(0,2),使得f’(ξ)=0.

解析
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