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  3. 设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝0且a≠b．证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝0且a≠b．证明：A可对角化．

admin2023-02-21  13
问题 设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝0且a≠b．证明：A可对角化．
选项
答案由(aE－A)(bE－A)＝O，得|aE－A|·|bE－A|＝0，则|aE－A|＝0或者|bE－A|＝0．又由(aE－A)(bE－A)＝O，得r(aE－A)＋r(bE－A)≤n． 同时r(aE－A)＋r(bE－A)≥r[(aE－A)－(bE－A)]＝r[(a－b)E]＝n． 所以r(aE－A)＋r(bE－A)＝n． (1)若|aE－A|≠0，则r(aE－A)＝n，所以r(bE－A)＝0，故A＝bE． (2)若|bE－A|≠0，则r(bE－A)＝n，所以r(aE－A)＝0，故A＝aE． (3)若|aE－A|＝0且|bE－A|＝0，则a，b都是矩阵A的特征值． 方程组(aE－A)X＝0的基础解系含有n－r(aE－A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n－r(aE－A)个； 方程组(bE－A)X＝0的基础解系含有n－r(bE－A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n－r(bE－A)个， 因为n－r(aE－A)＋n－r(bE－A)＝n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学一

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