(2008年试题,23)设A为三阶矩阵α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3,(I)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求-1PAP.

admin2019-03-08  73

问题 (2008年试题,23)设A为三阶矩阵α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα323,(I)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求-1PAP.

选项

答案(I)假α1,α2,α3线性相关,则α3可由α12线性表出,可设α3=k3α1+k2α2其中后k1,k2不全为0,否则由等式Aα323得到α2=0,不符合题设.因为α1,α2为矩阵A的分别属于特征值一1,1的特征向量,所以α1,α2相互独立,且有Aα1=一α1,Aα22,则A%=A(k1α1+k2α2)=一k1α1+k2α22+k1α1+k2α2.又α1,α2相互独立,等式中α1,α2的对应系数相等,即[*]显然此方程组无解.故假设不成立,从而可知α1,α2,α3线性无关.(Ⅱ)因为α1,α2,α3线性无关,所以矩阵P=(α1,α2,α3)可逆.由于AP=A(α1,α2,α3)=(一α1,α2,α23)=(α1,α2,α3)[*]等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1,可得[*]

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/vsWRFFFM
0

最新回复(0)