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求证：f(x，y)=Ax2+2Bocy+Cy2在约束条件下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．
求证：f(x，y)=Ax2+2Bocy+Cy2在约束条件下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．
admin
2021-11-15
13
问题
求证：f(x，y)=Ax
2
+2Bocy+Cy
2
在约束条件
下有最大值和最小值，且它们是方程k
2
一(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0的根．
选项
答案
因为f(x，y)在全平面连续[*]为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)分别为最大值点和最小值点，令[*]则(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)应满足方程[*]记相应乘子为λ
1
，λ
2
，则(x
1
，y
1
，λ
1
)满足[*]解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+C
1
y
2
同理λ
2
=2Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
，即λ
1
，λ
2
是f(x，y)在椭圆[*]上的最大值和最小值．又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即[*]化简得λ一(Aa
2
+Cb
2
)λ+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0，所以λ
1
，λ
2
是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/vi3RFFFM
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考研数学一
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