设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.

admin2018-07-30  39

问题 设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

    求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.

选项

答案由已知,(X,Y)的联合密度为 f(χ,y)=fχ(χ)fY(y)=[*] 而Z的分布函数为 FZ(z)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=[*](χ,y)dχdy. 当[*]≤0即z≤0时,FZ(z)=0 (图4.3(a)) 当0≤[*]≤1即0≤χ≤2时, FZ(z)=[*]e-ydχdy=∫0ze-ydy[*]dχ=[*](z∫0ze-ydy-∫0zye-ydy) (图4.3(b)) 当[*]>1即z>2时, FZ(z)=[*]e-ydχdy=∫01dχ∫0z-2χe-ydy=∫01[1-e2χ-z]dχ=-[*](e2-1)e-z (图4.3(c) [*] 则Z的概率密度为 [*]

解析
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