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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明 存在，并求该极限．

设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明 存在，并求该极限．

admin2018-08-22  46
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明
存在，并求该极限．
选项
答案当0＜x＜1时， ln(1+x)＜x＜ex一1． 由01＜1，可知 0＜ex2—1一ln(1+x1)＜x1＜1， 从而0＜x2＜1．同理可证当0＜x＜k<1时，xk+1同样满足0＜xk+1＜1，由数学归纳法知对一切 n=1，2，…，有0＜xn＜1，即数列{xn}是有界的． 又当0＜xn＜1时xn+1＜exn+1一1=ln(1+xn)＜xn，即{xn}单调减少． 由单调有界准则知[*]存在．将该极限值记为a，则a≥0． 对ln(1+xn)=exn+1一1两边取极限，得 ln(1+a)=ea一1． 设f(x)=ex一1一ln(1+x)，当0＜x＜1时，[*]因此f(x)单调增加． 由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即[*]
解析
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考研数学二

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