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设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )
admin
2018-07-26
42
问题
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )
选项
A、E－αα
T
不可逆．
B、E+αα
T
不可逆．
C、E+2αα
T
不可逆．
D、E－2αα
T
不可逆．
答案
A
解析
1 如果取2维单位向量α=
，则题中4个选项中的矩阵依次为
其中只有选项A中的矩阵是不可逆的，其余均可逆，故选A．
2 对于任意的n维单位列向量α，可以证明选项A中的矩阵的行列式必等于零，为简明起见，以n=3为例来证明(一般情形的证明类似)．设α=(α
1
，α
2
，α
3
)
T
是任意的3维单位列向量，则a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
=1，选项A中的矩阵的行列式为(不妨设a
1
≠0)
det(E－αα
T
)
分别将第2行的a
2
倍、第3行的a
3
倍加到第1行上去，并利用a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
=1，得行列式的第1行为零行，故该行列式等于零，从而知选项A中的矩阵是不可逆的，故选A．
3 对于单位列向量α，有α
T
α=1，由于
(E－αα
T
)α=α－α(α
T
α)=α－α=0，
故齐次线性方程组(E－αα
T
)x=0存在非零解α，因此矩阵E－αα
T
不可逆，故选A．
4 对于单位列向量α，有α
T
α=1，于是有
(E+αα
T
)(E－
α(α
T
α)α
T
=E，
(E+αα
T
)
－1
=E－
αα
T
；
(E+2αα
T
)(E－
α(α
T
α)α
T
=E，
(E+2αα
T
)
－1
=E－
αα
T
；
(E－2αα
T
)(E－2αα
T
)=E－2αα
T
－2α
T
α+4α(α
T
α)α
T
=E，
(E－2αα
T
)
－1
=E－2αα
T
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考研数学三
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