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  3. 设，求A的特征值和全部特征向量．

设，求A的特征值和全部特征向量．

admin2021-07-27  27
问题 设，求A的特征值和全部特征向量．
选项
答案若a=0，则A为零矩阵，其特征值为0(三重根)，对应特征向量为任意一个线性无关的三维向量组ξ1，ξ2，ξ3，A的全部特征向量即为线性组合c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3，其中c1，c2，c3为不同时为零的任意常数．若a≠0，由[*]解得特征值为λ=0(二重)，λ=3a．当λ=3a时，求解方程组(3aE-A)x=0，由其同解方程组[*]得一个基础解系ξ=[1，1，1]T，因此，矩阵A对应于λ=3a的全部特征向量为cξ，c为任意非零常数．当λ=0时，求解方程组(0E-A)x=-Ax=0，由其同解方程x1+x2+x3=0，得一个基础解系ξ1=[-1，1，0]T，ξ2=[-1，0，1]T，因此，矩阵A对应于λ=0的全部特征向量为c1ξ1+c2ξ2，其中c1，c2为不同时为零的任意常数．
解析
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考研数学二

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