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  3. 若A、B为两个n阶矩阵，且ABA=B－1，证明： 秩(E－AB)+秩(E+AB)=n．

若A、B为两个n阶矩阵，且ABA=B－1，证明： 秩(E－AB)+秩(E+AB)=n．

admin2016-11-03  25
问题 若A、B为两个n阶矩阵，且ABA=B－1，证明：
秩(E－AB)+秩(E+AB)=n．
选项
答案显然有 秩(E一AB)+秩(E+AB)≥秩(E—AB+E+AB)=秩(2E)=n． ① 另一方面，由ABA=B－1得到 (E一AB)(E+AB)=E一AB+AB—ABAB=E一(ABA)B =E一B－1B=E—E=0， 故 秩(E一AB)+秩(E+AB)≤n． ② 由式①与式②得到 秩(E—AB)+秩(E+AB)=n．
解析 只需证明
秩(E—AB)+秩(E+AB)≥n，
秩(E—AB)+秩(E+AB)≤n．
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考研数学一

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