设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,试求: 矩阵A的特征值和特征向量.

admin2016-01-11  28

问题 设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,试求:
矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案设λ为A的任一特征值,A的属于λ的特征向量为ξ,则Aξ=Aξ,于是A2ξ=λAξ=A2ξ由(1)知,A2=O,故有λ2ξ=0.因为特征向量ξ≠0,所以λ2=0,即λ=0,故矩阵A的特征值全为零.不妨设向量α,β的分量a1≠0,b1≠0. 对齐次线性方程组(0.E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换,得[*] 于是A的属于特征值λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1,其中k1,k2,…,kn-1是不全为零的任意常数.

解析
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