)设二次型f(x1,x2,x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求以的值及一个正交矩阵Q.

admin2019-05-16  57

问题 )设二次型f(x1,x2,x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y122y22,求以的值及一个正交矩阵Q.

选项

答案二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为A=[*]. 由题设知Q—1AQ=QTAQ=[*],A的一个特征值为零,所以有 [*] 故得a=2.由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值,不妨设λ1=6,λ2=一3,λ3=0, 对于λ1=6,解方程组(6I—A)x=0,对应的单位特征向量可取为ξ1=[*](1,0,一1)T; 对于λ2=一3,解方程组(一3I一A)x=0,对应的单位特征向量可取为ξ2=[*](1,一1,1)T; 对于λ3=0,解方程组Ax=0,对应的单位特征向量可取为ξ3=[*](1,2.1)T. Q=(ξ1,ξ2,ξ3)=[*]。

解析
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