2. 考研
  3. 设函数f(x)为[0，1]上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：

设函数f(x)为[0，1]上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：

admin2019-05-14  35
问题 设函数f(x)为[0，1]上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：
选项
答案因为f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0。 所以不等式[*]等价变形为 ∫0xxf2x+y(x)dx．∫0xf(x)dx≤∫0xxf(x)dx．∫0xf2x+y(x)dx。 从而原题可转化为证明不等式∫0xxf(x)dx．∫0xf2x+y(x)dx一∫0xxf2x+y(x)dx．∫0xf(x)dx≥0。令 I=∫0xxf(x)dx∫0xf2x+y(x)dx一∫0xxf2x+y(x)dx．∫0xf(x)dx =∫0xxf(x)dx∫0xf2x+y(y)dy一∫0xf(x)dx．∫0xyf2x+y(y)dy (1) =∫0x∫0xf2x+y(y)f(x)(x一y)dxdy 又 I=∫0xyf(y)dy∫0xf2x+y(x)dx一∫0xf(y)dy∫0xxf2x+y(x)dx =∫0x∫0xf(y)f2x+y(x)(y一x)dxdy， (2) (1)+(2)得2I=∫0x∫0xf[f(x)f(y)(x一y)[f(y)一f(x)]dxdy， 由题设，f(x)＞0且在[0，1]上单调递减，所以当y≥x时，f(y)≤f(x)，即(x一y)[f(t)一f(x)]≥0。故2I≥0，即I≥0。 命题得证。
解析
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